I.E.T.A.
FERNANDEZ GUERRA
TRIGONOMETRIA
GRADO DECIMO
GUIA
1: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las funciones trigonométricas son una
serie de 6 relaciones que se establecen entre los lados de un triangulo rectángulo,
y que se definen a partir de uno de sus ángulos. Se utilizan para encontrar
cuánto mide un lado o un ángulo de un triangulo rectángulo, y por lo tanto
tienen muchas aplicaciones en diversas áreas del conocimiento, como la
ingeniería, la arquitectura, la astronomía, la navegación, la carpintería, etc.
Es importante recordar que un triangulo
rectángulo es aquel que tiene entre sus ángulos, uno de 90°, es decir que tiene
un ángulo recto.
Para definir las funciones
trigonométricas debemos primero
familiarizarnos con algunos términos como son: Hipotenusa, Cateto
Opuesto y Cateto Adyacente.
La Hipotenusa es el lado del triangulo
que se opone (que está al frente) al ángulo recto. Y es el lado más largo.
Las
posiciones del cateto opuesto y del cateto adyacente dependerán del ángulo
sobre el cual se estén calculando las funciones trigonométricas, siendo el
cateto opuesto el que se encuentra al frente del ángulo y el cateto adyacente
el que está más cerca del mismo. En la figura 1, las posiciones del cateto
opuesto y el cateto adyacente están definidas con respecto al ángulo θ. En la figura 2, están definidas con respecto al ángulo
β.
Conviene
recordar también una propiedad de todos los triángulos, y que puede ser muy
útil cuando se resuelven ejercicios de este tema y es aquella que dice que la
suma de los tres ángulos internos de todo triangulo es igual a 180°, por lo
tanto como estamos tratando con triángulos rectángulos (uno de los ángulos es
de 90°), entonces la suma de los otros dos ángulos debe ser igual a 90°, luego si
tenemos uno de los dos ángulos, podremos deducir el valor del otro.
Definición
de las Funciones Trigonométricas:
Las
seis funciones trigonométricas son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante
y Cosecante. Y se definen de la siguiente manera:
1) El seno de un ángulo es la
relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
2) El coseno de
un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
3) La tangente
de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente
de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del
opuesto:
5)
La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6)
La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Ejemplos de aplicación
de las Funciones Trigonométricas:
1.
Dado el siguiente triángulo, encontrar el valor de las funciones
trigonométricas y el de los ángulos θ y β.
Solución:
Con respecto al ángulo
θ, los valores de la hipotenusa, el cateto adyacente y el opuesto son:
Hipotenusa
= 10
Cateto
adyacente = 8
Cateto
opuesto = 6
Ahora,
como conocemos el valor del seno aplicamos la función reciproca del seno para
determinar el valor del ángulo. (Este paso se realiza con la calculadora).
Para
hallar la función reciproca del seno en la calculadora se presionan las teclas:
SHIFT SIN 0.6 =
y el resultado es el valor del ángulo. El procedimiento se puede hacer
con todas las funciones trigonométricas y en todos los casos debe dar el mismo
valor del ángulo.
Finalmente,
para hallar el valor del ángulo β, recurrimos a la propiedad de los triángulos
que dice que la suma de los ángulos internos es igual a 180°, y como ya
conocemos dos de los tres ángulos, a 180° le restamos los dos ángulos que
conocemos y el resultado será el valor de β. Así:
2. Dado el siguiente
triangulo, encontrar la longitud del cateto que hace falta y la medida de los
ángulos θ
y β.
Solución:
Si tomamos como
referencia el ángulo θ, tenemos que:
Hipotenusa
= 15
Cateto
adyacente = 10
Cateto opuesto = No se
conoce.
Empezaremos
hallando el valor del ángulo θ, y lo haremos utilizando la
función coseno, porque conocemos la hipotenusa y el cateto adyacente.
Ahora
podemos hallar el valor del ángulo θ, con la función
reciproca del coseno, utilizando la calculadora y presionando las
teclas:
SHIFT COS 0.66 =
Ahora
procedemos a hallar el valor del ángulo β, utilizando la propiedad de los
triángulos que dice que la suma de los ángulos internos es igual a 180°,
entonces nos queda:
Finalmente,
tenemos que hallar el valor del cateto opuesto, y lo podemos hacer de dos
formas.
_ Una forma es utilizando el valor del ángulo
θ, calculando el seno de dicho ángulo y
con ese valor encontrar el cateto opuesto, así:
Reemplazamos
θ por el valor que encontramos antes que fue: 48.7°, nos queda:
Hallamos
el valor del seno del ángulo con la calculadora y lo reemplazamos en la
ecuación:
Despejamos
el valor del cateto opuesto, pasando el 15 a multiplicar al otro lado de la
ecuación:
Despejamos
el valor del cateto opuesto, pasando el 15 a multiplicar al otro lado de la
ecuación:
Hacemos
la multiplicación y obtenemos el valor del cateto opuesto: 11.25
= co
_ La segunda forma para calcular el valor del cateto opuesto es
utilizando el Teorema de Pitágoras, que dice que en todo triangulo rectángulo la
hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos,
así:
Reemplazamos en la formula los valores
que conocemos de la hipotenusa y del cateto adyacente:
Despejamos el valor del cateto opuesto,
pasando el 100 a restar al otro lado de la ecuación:
Sacamos raíz cuadrada en los dos lados de la
ecuación para eliminar el cuadrado del cateto opuesto:
TALLER
En los siguientes triángulos debes
encontrar el valor de los ángulos θ y
β. Y también el cateto que haga
falta, utilizando las funciones trigonométricas y las propiedades de los
triángulos rectángulos.
Para complementar esta
guía se sugiere observar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=8zVW0U2jn8U
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